CENTRO DE MASAS

   Es el punto donde puede considerarse que está concentrada toda la masa de un cuerpo para estudiar determinados aspectos de su movimiento. El centro de masas de una esfera de densidad uniforme está situado en el centro de la esfera. El centro de masas de una varilla cilíndrica de densidad uniforme está situado a la mitad de su eje. En algunos objetos, el centro de masas puede estar fuera del objeto.

   Para tratar de comprender y calcular el movimiento de un objeto, suele resultar más sencillo fijar la atención en el centro de masas. Por ejemplo, si se arroja una varilla al aire, ésta se mueve de forma compleja. La varilla se mueve por el aire y al mismo tiempo tiende a girar. Si se siguiera el movimiento de un punto situado en el extremo de la varilla, su trayectoria sería muy complicada. 

   Pero si se sigue el movimiento del centro de masas de la varilla, se comprueba que su trayectoria es una parábola que puede describirse matemáticamente con facilidad. El complicado movimiento del extremo de la varilla puede describirse como una combinación de su rotación en torno al centro de masas y del movimiento parabólico de éste. El centro de masas también puede ser un concepto útil cuando se estudia el movimiento de sistemas complicados que están formados por muchos objetos, por ejemplo, el movimiento de los planetas alrededor del Sol.

Espacio de configuración de un sólido rígido.

La mecánica lagrangiana para describir un sistema mecánico con un grado finito de grados de libertad se define como una variedad diferenciable llamada espacio de configuración. El movimiento del sistema o evolución con el tiempo se describe como un conjunto de trayectorias a lo largo del espacio de configuración. Para un sólido rígido con un punto inmóvil (sólo existe rotación) el espacio de configuración viene dado por la variedad diferenciable del grupo de rotación SO(3). Cuando el sólido tiene traslación y rotación de todos sus puntos el espacio de configuración es E+(n), el subgrupo de isometría del grupo euclídeo (combinaciones de traslaciones y rotaciones.

Tensor de inercia.

Cuando se estudia el movimiento de un sólido rígido resulta conveniente descomponerlo en un movimiento de traslación más un movimiento de rotación:

Para describir la traslación sólo necesitamos calcular las fuerzas resultantes y aplicar las leyes de Newton como si se tratara de puntos materiales.

En cambio la descripción de la rotación es más compleja, ya que necesitamos alguna magnitud que de cuenta de como está distribuida la masa alrededor de cierto punto o eje de rotación (por ejemplo un eje que pase por el centro de masa). Esa magnitud es el tensor de inercia que caracteriza la inercia rotacional del sólido.

Ese tensor de inercia sólido rígido se define como un tensor simétrico de segundo orden tal que la forma cuadrática construida a partir del tensor y la velocidad angular ω da la energía cinética de rotación.

Condición cinemática de rígidos.

   En forma de expresar el movimiento de un solido rígido, se debe primero determinar el movimiento presente en cada una de las partículas que constituyen al solido rígido, aunque aparenta un proceso complejo, en realidad no lo es, ya que existen ciertas restricciones con respecto al movimiento de los puntos o partículas, que se imponen por el hecho de ser un sólido rígido, es por esta razón que el proceso se convierte en uno muy sencillo, digamos que se tienen un par de puntos o un par de partículas que pertenecen al solido rígido, es decir, el punto (P1, P1), de manera que se puede expresar una condición geométrica de rigidez, la dual se deriva con respecto a un intervalo de tiempo, de manera que:

    En la expresión anterior rij y vij, representa el primero un vector de posición, mientras que el segundo representa la velocidad de la partícula pi con respecto a la partícula Pj, de manera quela expresión anterior al no ser nulo ningún vector que interviene en el producto escalar, los vectores, se dice que son de forma perpendicular entre ellos, de manera que se puede definir que cualquier vector que tenga los extremos fijos en un sólido rígido, se dice que es perpendicular a su derivada con respecto a un intervalo de tiempo, de manera que la expresión anterior so puede sobrescribir de la siguiente manera:

O en otra versión de la misma:

    La expresión matemática anterior, describe al semejanza en las proyecciones de las velocidades en el punto Pi y en el punto Pj, sobre la recta que los junta. A esto también se le conoce como la condición cinemática de rigidez, la cual es descrita por el siguiente enunciado:

    La velocidad presente e de los puntos que se encuentran alineados y pertenecen al solido rígido, estas dan una proyección semejante a la de la recta que los une.

     De manera que esta condición, describe la incapacidad de poder modificar la distancia que entre dos puntos de un solido rígido cuando este se encuentra en movimiento, esto debido a que la velocidad de cada punto son semejantes entre ellas en la reta que los junta, de manera que nunca se acercaran los puntos entre sí.

Solido Rigido

   Un sólido rígido se caracteriza por ser indeformable, las posiciones relativas de los puntos del sólido se mantienen fijas aunque se apliquen fuerzas al mismo.

    Si se deriva respecto del tiempo se obtiene: 

    El primer término es la velocidad del punto P, el segundo la velocidad del centro de masas y el tercero es la velocidad del punto P respecto del centro de masas.

     Como el vector R r tiene módulo constante, el único movimiento posible de P respecto de C es una rotación con velocidad angular ω r alrededor de un eje instantáneo que pase por C, tal como se ve en la figura de la derecha.

    Por tanto, el movimiento de un punto P del sólido se puede considerar como la suma de un movimiento de traslación del centro de masas más una rotación alrededor de un eje instantáneo que pasa por el centro de masas.

   Los cuerpos rígidos tienen como movimiento general una composición de un movimiento de traslación más otro de rotación. Siempre es posible encontrar un sistema de referencia en traslación pero no rotante respecto del cual el movimiento del cuerpo parezca solo de rotación. 

   Para un cuerpo rígido, si se conoce dónde está en un momento determinado una partícula y el ángulo θ de rotación del cuerpo respecto a la posición original, conocemos el resto de las posiciones de los puntos.

   El movimiento general de un sólido rígido es la composición de un movimiento de traslación del centro de masas y de un movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas.

            -  En el movimiento de traslación, todos los puntos del sólido se mueven en trayectorias paralelas. La velocidad de un punto del sólido es la misma que la velocidad del centro de masas.

           - En el movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas, la velocidad de un punto del sólido es proporcional la radio de la circunferencia que describe, y su dirección es tangente a dicha circunferencia.

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